شرحدرسالأعدادالمركبة(ComplexNumbers)
الأعدادالمركبةهيأحدالمفاهيمالأساسيةفيالرياضيات،خاصةفيالجبروالتحليلالرياضي.تُستخدمهذهالأعدادلحلالمعادلاتالتيلايوجدلهاحلفيمجموعةالأعدادالحقيقية،مثلالمعادلة(x^2+1=0).فيهذاالدرس،سنتعرفعلىتعريفالأعدادالمركبة،خصائصها،وكيفيةالتعاملمعهافيالعملياتالحسابيةالمختلفة.شرحدرسالأعدادالمركبة
1.تعريفالعددالمركب
العددالمركبهوعدديُكتبعلىالصورة:
[z=a+bi]
حيث:
-(a)و(b)أعدادحقيقية.
-(i)هيالوحدةالتخيلية،وتُعرفبأنها(i^2=-1).
-يُسمى(a)الجزءالحقيقيللعددالمركب،ويُرمزلهبـ(\text{ Re}(z)).
-يُسمى(b)الجزءالتخيليللعددالمركب،ويُرمزلهبـ(\text{ Im}(z)).
2.العملياتالحسابيةعلىالأعدادالمركبة
يمكنإجراءالعملياتالأساسيةمثلالجمعوالطرحوالضربوالقسمةعلىالأعدادالمركبةبنفسقواعدالأعدادالحقيقية،معمراعاةأن(i^2=-1).
أ.الجمعوالطرح
لجمعأوطرحعددينمركبين،نجمعأونطرحالأجزاءالحقيقيةوالتخيليةبشكلمنفصل:
[(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i]
[(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i]
ب.الضرب
لضربعددينمركبين،نستخدمخاصيةالتوزيعونستبدل(i^2)بـ(-1):
[(a+bi)\cdot(c+di)=ac+adi+bci+bdi^2=(ac-bd)+(ad+bc)i]
ج.القسمة
لقسمةعددينمركبين،نضربالبسطوالمقامفيمرافقالمقام(وهو(c-di)إذاكانالمقام(c+di))لتبسيطالمقامإلىعددحقيقي:
[\frac{ a+bi}{ c+di}=\frac{ (a+bi)(c-di)}{ c^2+d^2}]
3.التمثيلالهندسيللأعدادالمركبة
يمكنتمثيلالعددالمركب(z=a+bi)كنقطةفيالمستوىالإحداثي(يُسمىمستوىالأعدادالمركبةأومستوىأرجاند)،حيث:
-المحورالأفقييمثلالجزءالحقيقي.
-المحورالرأسييمثلالجزءالتخيلي.
4.الصورةالقطبيةللعددالمركب
يمكنالتعبيرعنالعددالمركبباستخدامالإحداثياتالقطبية:
[z=r(\cos\theta+i\sin\theta)]
حيث:
-(r=\sqrt{ a^2+b^2})هوالمقياس(طولالمتجه).
-(\theta=\tan^{ -1}\left(\frac{ b}{ a}\right))هوالزاوية(التييصنعهاالمتجهمعالمحورالحقيقي).
5.تطبيقاتالأعدادالمركبة
تستخدمالأعدادالمركبةفيالعديدمنالمجالاتمثل:
-الهندسةالكهربائية:تحليلالدوائرالكهربائيةالتيتعملبالتيارالمتردد.
-الفيزياء:دراسةالموجاتوالاهتزازات.
-علمالحاسوب:معالجةالإشاراتالرقميةوالرسومات.
الخلاصة
الأعدادالمركبةتوسعمفهومالأعدادالحقيقيةوتسمحبحلمعادلاتلايمكنحلهاباستخدامالأعدادالحقيقيةفقط.منخلالفهمالعملياتالأساسيةوالتمثيلالهندسي،يمكنتطبيقهذهالأعدادفيالعديدمنالتخصصاتالعلميةوالهندسية.
شرحدرسالأعدادالمركبة
